"Đây có thể là bài toán lâu đời nhất trong lịch sử nhân loại".
Có thể bạn đã biết, khoảng 2000 năm Trước Công Nguyên, người Ai Cập cổ đại là những người đầu tiên sử dụng khái niệm phân số. Họ ký hiệu nó bằng một chữ cái tượng hình, giống một con mắt không có tròng. Ví dụ như:
Khái niệm phân số ra đời đã giúp ích rất nhiều cho đời sống hàng ngày của người Ai Cập, chẳng hạn như phân chia lương thực hay tiền công cho những người tham gia xây dựng kim tự tháp.
Nhưng có một điều kỳ lạ mà bạn chưa biết: Phân số của người Ai Cập hiếm khi có tử số lớn hơn 1, gần như tất cả các phân số mà họ sử dụng đều có dạng 1/x. Ví dụ, nếu người Ai Cập cổ đại có một xô nước đầy tới 3/5, họ không bao giờ chia xô nước thành 5 phần và nói nó đã đầy tới 3 phần.
Thay vào đó, người Ai Cập cổ đại thấy xô nước đó đã đầy một nửa, cộng thêm 1 phần 10. Và đúng thật: ½ 1/10 = 3/5.
Lý do tại sao người Ai Cập sử dụng một hệ thống phân số chỉ có tử bằng 1 không rõ ràng. Nhưng kỳ diệu thay, hệ thống đó lại tỏ ra vô vùng hữu ích. Hãy lấy một ví dụ: Một người quản công ở kim tự tháp cần chia 6 chiếc bánh mì cho 6 dân phu. Nhưng hôm nay, người phát lương nói họ chỉ còn 5 chiếc bánh mì cuối cùng. Làm thế nào để chia đều được 5 chiếc bánh mì đó?
Nếu sử dụng phân số 5/6, bạn sẽ phải cắt mỗi chiếc bánh thành 6 phần bằng nhau, sau đó, mỗi dân phu sẽ nhận 5 phần. Nhưng người Ai Cập cổ đại lại áp dụng một cách tính đơn giản hơn với 5/6 =1/2 1/3.
Như vậy, bạn sẽ chỉ cần cắt đôi 3 cái bánh, và cắt 2 cái bánh còn lại, mỗi cái ra làm ba. Vậy là mỗi người dân phu sẽ nhận 1 nửa cái bánh và 1/3 cái nữa. Quả là thông minh phải không?
Người Ai Cập cổ đại nhận ra họ luôn có thể chia một chiếc bánh ra thành các phần, mà đại diện cho nó là một tập hợp các phân số có tử số là 1. Ví dụ: 1= 1/2 1/3 1/6. Nhưng cũng có thể 1=1/2 1/3 1/7 1/42. 1= 1/2 1/3 1/12 1/18 1/36 như hình vẽ dưới đây:
Thực tế này được các nhà toán học Paul Erdős và Ronald Graham đúc kết thành một bài toán trong thập niên 1970: Nếu cho bạn một tập hợp số nguyên dương tịnh tiến (nghĩa là số sau luôn lớn hơn số trước), chỉ cần tập hợp đủ lớn, bạn sẽ luôn tìm được một một tập hợp các số trong đó tổng nghịch đảo của chúng bằng 1:
Hãy lấy ví dụ về tập các số chẵn liên tiếp xem {2,4,6,8,10,12,…}. Ồ không phải đếm nữa, chúng ta đã có 2,4,6 và 12: 1/2 1/4 1/6 1/12 =1.
Giờ với tập các số lẻ liên tiếp {1,3,5,7,9,11,13,15, 17…} hơi mất công một chút nhưng kỳ diệu không, cho bạn bấm máy tính thì:
Bài toán đơn giản là vậy, nhưng chứng minh nó luôn đúng thì không dễ chút nào. Carl Pomerance một nhà toán thọc đến từ Đại học Dartmouth cho biết: "Đây có thể là bài toán lâu đời nhất trong lịch sử nhân loại từ trước đến nay".
"Tôi nghĩ lời giải cho bài toán này là bất khả thi, sẽ không ai có thể tìm ra được. Chính tôi cũng không thấy có bất kỳ hướng tiếp cận rõ ràng nào để giải nó", Andrew Granville, một nhà toán học đến từ Đại học Montreal cho biết thêm.
Nhưng bất ngờ thay, mới đây có một nhà toán học tại Đại học Oxford, Anh Quốc tên là Thomas Bloom đã giải quyết được nó theo một cách vô cùng đơn giản. Bloom lần đầu tiên đọc được bài toán này hồi tháng 9 năm ngoái trong một bài báo đã 20 năm tuổi.
Bài báo đó thuộc về một nhà toán học tên là Ernie Croot, người đã giải được cái gọi là phiên bản tô màu của bài toán Erdős-Graham. Ở đó, toàn bộ các con số được sắp xếp ngẫu nhiên vào các nhóm khác nhau được chỉ định bằng màu sắc: Một số ở nhóm màu xanh, số khác ở nhóm màu đỏ, v.v.
Erdős và Graham đã dự đoán rằng cho dù có bao nhiêu nhóm khác nhau được sử dụng trong việc sắp xếp này, thì ít nhất một nhóm phải chứa một tập con các số nguyên có tổng nghịch đảo bằng 1.
Nhưng lời giải của Croot cần phải dùng đến một loạt các phương pháp toán học phức tạp như phân tích điều hòa - một nhánh của toán học liên quan chặt chẽ đến phép tính toán - để xác nhận dự đoán của Erdős-Graham. Bài báo của ông đã được xuất bản trong Biên niên sử Toán học, một tạp chí hàng đầu trong lĩnh vực này - chính là bài báo mà Bloom đã đọc.
Ngoài ra, khi sắp xếp các số vào các nhóm, Croot muốn tránh các số tổng hợp có thừa số nguyên tố lớn. Số nghịch đảo của những số đó có xu hướng cộng vào các phân số có mẫu số lớn thay vì giảm thành các phân số đơn giản hơn, dễ kết hợp hơn để tạo thành 1.
Vì vậy, Croot đã chứng minh rằng nếu một tập hợp có đủ nhiều số với nhiều thừa số nguyên tố tương đối nhỏ thì nó phải luôn chứa một tập hợp con có các nghịch đảo thêm vào 1. Điều này đủ để chứng minh bài toán Erdős-Graham phiên bản tô màu.
Nhưng trong phiên bản tổng quát hơn của nó, các nhà toán học không thể chỉ đơn giản chọn ra những mảng màu thuận tiện nhất. Họ có thể phải tìm lời giải cho những mảng màu không chứa số nào có thừa số nguyên tố nhỏ — trong trường hợp đó, phương pháp của Croot không hoạt động:
Phải đợi đến bây giờ là hai thập kỷ sau, khi Bloom nhìn lại bài toán và cách giải của Croot, anh mới nhận ra mình có thể phát triển kỹ thuật mà Croot đã giới thiệu trong một phiên bản đơn giản nhưng tổng quát hơn.
Bloom nói: "Tôi nghĩ, chờ đã, phương pháp của Croot thực sự mạnh hơn so với tưởng tượng ban đầu. Vì vậy, tôi đã nghiên cứu nó trong vài tuần, và kết quả là lời giải tốt hơn này đã ra đời".
Chứng minh của Croot dựa trên một dạng tích phân được gọi là tổng hàm mũ. Đó là một biểu thức có thể phát hiện có bao nhiêu nghiệm nguyên cho một bài toán — trong trường hợp này, có bao nhiêu tập hợp con chứa tổng các phân số đơn vị bằng 1.
Bloom đã điều chỉnh chiến lược của Croot để nó hoạt động với các số có thừa số nguyên tố lớn, chỉ đơn giản bằng cách chia 1 ra thành các phân số nhỏ như 3 lần 1/3. Bây giờ, thay vì bài toán là đi tìm tổng các phân số có tử bằng 1 và tổng bằng 1, nó trở thành tìm 3 tổng các phân số có tử bằng 1 và tổng bằng 1/3.
Sau đó, Bloom chỉ đơn giản là lặp lại phương pháp của Croot mà giờ không cần bỏ qua các số nguyên có thừa số nguyên tố lớn nữa. Phương pháp của Bloom cho phép anh ta kiểm soát tốt hơn các phần đó của tổng hàm mũ, và miễn là một tập hợp chứa một phân số nhỏ nhưng dãy số là đủ lớn— bất kể phân số đó nhỏ cỡ nào— thì luôn không thể tránh khỏi việc tìm ra những tổng bằng chính phân số đơn vị đó.
"Đây là một lời giải xuất sắc", Izabella Łaba, một nhà toán học đến từ Đại học British Columbia cho biết: "Lý thuyết số tổ hợp và phân tích đã phát triển rất nhiều trong 20 năm qua. Điều đó cho phép chúng ta quay lại bài toán cũ với một góc nhìn mới và với những cách giải hiệu quả hơn".
Với lời giải mới của mình, Bloom bây giờ đã chứng minh được hoàn chỉnh một bài toán có nguồn gốc từ thời Ai Cập cổ đại. Nhưng đây vẫn chưa phải kết thúc của câu chuyện kéo dài hơn 4.000 năm.
Bloom cho biết bài toán vẫn có thể tiếp tục phát triển bởi lý thuyết số hiện đại vẫn đang phát triển. "Tôi hiện đang làm việc để chính thức hóa bằng chứng trong Lean, cái được gọi là 'trợ lý bằng chứng'," ông nói. "Đây là một lĩnh vực mới thú vị, nơi chúng ta có máy tính để kiểm tra chính thức các bằng chứng ở mức độ nghiêm ngặt hơn nhiều so với toán học cơ bản của con người".
Một bài toán mới sẽ được đặt ra trong đó: Liệu bạn có thể tìm được một tập hợp số dương vô hạn nào đó, mà không thể tìm được bất kỳ nhóm nghịch đảo thành phần nào của nó có tổng bằng 1 hay không?
